Pourquoi déciderait-on soudainement de changer notre définition
de la distance? (La géométrie Euclidienne fonctionne très
bien depuis l'Antiquité, pourquoi viendrait-on y ajouter des taxis...)
Il y a plusieurs réponses a cette question, mais la plus évidente
d'entre elles est contenue dans l'appellation même de géométrie
taxi. En géométrie Euclidienne, la distance est mesurée
à vol d'oiseau, ce qui constitue rarement un modèle intéressant
pour des applications pratiques. Dans une ville, on est généralement
intéressé par la distance qu'aura à parcourir une
automobile, pas celle qu'aura à parcourir un pigeon.
La géométrie taxi peut également s'appliquer, de façon moins sérieuse, à certains jeux joués sur une grille carré et où seuls les mouvements horizontaux et verticaux sont permis. (Malheureusement, beaucoup de ces jeux autorisent les mouvements en diagonale, ce qui nécessiterait l'utilisation d'encore une autre définition de distance.)
Il y a également d'excellentes raisons "pédagogiques"
d'étudier cette géométrie, puisqu'il s'agit d'une
géométrie non-euclidienne très simple. Comme le fait
remarquer Eugene F. Krause dans l'introduction de son livre (voir bibliographie),
"Pour apprécier pleinement la géométrie Euclidienne,
il est nécessaire de connaitre un peu la géométrie
non-euclidienne". La géométrie taxi a l'avantage d'être
relativement simple et naturelle comparativement aux géométries
non-euclidiennes les plus célèbres, et elle ne requiert
qu'un minimum de bagage mathématique. C'est également pour
cela qu'elle permet toutes sortes de choses en mathématiques
ludiques. Martin Gardner le démontre par exemple dans le Scientific
American.
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